Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} & x \end{array}]$

Этап 1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 1.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Этап 1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Этап 1.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Этап 1.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$\frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Этап 1.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 1.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$- \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 1.9

Сложим члены.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим

$x$ на

$x$ .

$x (x^{2} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 2.2.2

Умножим

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 2.2.2.2

Умножим

$\frac{1}{5}$ на

$1$ .

$x (x^{2} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 2.2.2.3

Умножим

$\frac{1}{5}$ на

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{5 \cdot 5}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 2.2.2.4

Умножим

$5$ на

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим

$x$ и

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 3.2.2

Умножим

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 3.2.2.2

Умножим

$\frac{1}{5}$ на

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 3.2.2.3

Умножим

$\frac{1}{5}$ на

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 3.2.2.4

Умножим

$5$ на

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}) - (- \frac{1}{5} x))$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

Этап 4.2.1.2

Умножим

$\frac{1}{5}$ на

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

Этап 4.2.1.3

Умножим

$\frac{1}{5}$ на

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5 \cdot 5} - (- \frac{1}{5} x))$

Этап 4.2.1.4

Умножим

$5$ на

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - (- \frac{1}{5} x))$

Этап 4.2.2

Объединим

$x$ и

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - - \frac{x}{5})$

Этап 4.2.3

Умножим

$- - \frac{x}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + 1 \frac{x}{5})$

Этап 4.2.3.2

Умножим

$\frac{x}{5}$ на

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.2

Умножим

$x$ на

$x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим

$x$ на

$x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.2.1.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.2.2

Добавим

$1$ и

$2$ .

$x^{3} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.3

Объединим

$x$ и

$\frac{1}{25}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.5

Умножим

$\frac{1}{5} (- \frac{x}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим

$\frac{1}{5}$ на

$\frac{x}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{5 \cdot 5} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.5.2

Умножим

$5$ на

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.6

Умножим

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{25})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим

$\frac{1}{5}$ на

$\frac{1}{25}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{5 \cdot 25} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.6.2

Умножим

$5$ на

$25$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Этап 5.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Этап 5.1.8

Умножим

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Умножим

$\frac{1}{25}$ на

$\frac{1}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{25 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Этап 5.1.8.2

Умножим

$25$ на

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Этап 5.1.9

Умножим

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Умножим

$\frac{x}{5}$ на

$\frac{1}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{5 \cdot 5}$

Этап 5.1.9.2

Умножим

$5$ на

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{25}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Этап 5.3

Вычтем

$x$ из

$- x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Этап 5.4

Вычтем

$x$ из

$- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Этап 5.5

Вычтем

$1$ из

$- 1$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} - \frac{3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

Этап 5.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} - \frac{3 x}{25} - \frac{2}{125}$